1. 집합(Set)

 안녕하세요. 첫 시작은 수학에서 가장 기본이 되는 이론 중 하나인 '집합'에 대해 포스팅 하겠습니다. 

 첫 번째로는 '집합'의 정의에 대해 알아보겠습니다. 우선 '집합'의 뜻은 '주워 모아서 합한 것', '한 곳에 모이는 것' 등이 있습니다. 한 마디로 여러가지를 하나로 묶은 것이라고 볼 수 있죠. 실제 수학에서의 '집합' 또한 이와 유사한 의미입니다. 다만 하나로 모인 것에서 명확히 구별이 가능한, 쉽게 말해서 '각각이 서로 다른 것'을 좀 더 강조한 것이라 생각하시면 될 것 같습니다. 또한 하나의 모임으로 구성될 때에는 '명확한 기준'이 있어 그 기준에 맞는 사물들만 모여야합니다. 따라서 실제 집합의 정의를 정리해 보면 '각각이 정확히 구별이 가능하고 제시된 명확한 기준에 부합한 요소들의 모임을 하나의 대상으로 본 것'이라고 할 수 있습니다. 그리고 집합을 정의할 때 '요소'라는 표현을 썼는데요, 실제로는 '요소'가 아닌 '원소(element)'라는 표현을 사용합니다. 

 두 번째로 집합 표현 방법에 대해 알아보겠습니다. 집합은 소속성을 제외한 어떠한 구조도 가지지 않습니다. 그렇기에 집합을 표현할 때는 중괄호 안에 순서와 상관없이 수를 나열하는 방식, 또는 기준을 제시하는 방식을 사용합니다. 

 우선 전자의 방식은 '원소 나열법'이라고 부릅니다. 정의를 하자면 '집합의 원소를 나열하여 표기하는 방법'이죠. 실제로 위의 'Animal'이라는 집합을 원소 나열법으로 표현한다면 'Animal={cat,dog,mouse,bird,pig}'로 표현할 수 있습니다. ','를 이용해 원소를 구별하고, '{}'로 원소들을 묶죠. 간단한 방법이지만 원소들 간의 논리적인 관계를 한 눈에 보기 어려울 수도 있습니다.

 나머지 후자의 방식은 '조건 제시법'이라고 부릅니다. '조건 제시법'의 정의는 '집합의 원소인지를 판단하는 조건을 제시하여 표기하는 방법'입니다. 실제로는 '{}' 안에 '|'을 집어넣어 '|'의 왼쪽에는 집합의 원소를 나타내는 식을 적고, 오른쪽에는 원소가 만족해야하는 조건을 제시합니다. 이번에는 쉽게 숫자를 이용해서 표현하도록 하겠습니다. 우선 A라는 집합에 1부터 10까지의 자연수가 있다고 합니다. 그럼 이 집합을 어떻게 표현해야 할까요? 우선 집합 A의 원소는 'x'라고 표현하여 '|'의 왼쪽에 넣어주고, x가 자연수인 것과 1부터 10까지 있다는 사실을 '|'의 오른쪽에 표현해주면 됩니다. 그럼 다음과 같은 식이 나오죠. 'A={x | x는 자연수, 0<x<11}' 이 방법은 원소 나열법과는 달리 원소들 간의 논리적인 관계를 이해하기 쉽다는 특징을 가지고 있습니다.

 세 번째로는 집합과 원소와의 관계와 집합과 집합사이의 관계에 대해 알아보겠습니다. 

 우선 집합과 원소와의 관계를에 대해 알아 봅시다. 집합을 이용할 때 가장 중요한 것은 어떻게해서든 각각의 원소들과 집합 사이의 관계가 '속한다', '속하지 않는다'로 명확히 구분되어져야 된다는 것입니다.(한마디로 제 3의 선택지가 없어야 합니다.) 그럼 이 '속한다','속하지 않는다'를 어떻게 표현해야할까요? 바로 '∈'라는 'ㅌ'과 유사한 포함 기호를 사용하면 됩니다. 여기서 유의할 점은 '∈'은 원소와 집합 사이에서만 사용된다는 것입니다. 집합과 집합 사이에는 다른 기호가 사용됩니다. 자 그럼 예시를 하나 보여드리겠습니다. 'cat'라는 원소가 하나 있고, 'Animal'이라는 집합이 있을 때 이들간의 관계는 어떻게 표현할 까요? 바로 'cat ∈ Animal'이렇게 표현하시면 되고, 그와 반대로 'Animal'이 아닌 'plant'라는 집합일 경우에는 'cat ∉ plant'와 같이 포함 기호에 '/'를 그으시면 됩니다. 

 그 다음으로는 집합과 집합 사이의 관계를 표현에 대해 알아보겠습니다. 집합과 집합 사이의 관계는 위에서 보았던 원소와 집합 간의 관계처럼 단순하지 않습니다. 한 집합이 다른 집합에 완전히 포함될 수도 있지만, 몇가지 원소들만 포함될 수 있기 때문이죠. 몇가지 예시를 들면서 설명하겠습니다. 

 먼저 '고양이과'라는 집합이 있고, 'Animal'이라는 집합이 있다고 합시다. 이 두 집합 사이의 관계는 어떤 형태일까요? 바로 '고양이과'라는 집합이 'Animal'에 완전히 포함되는 형태입니다. 사자,호랑이,시라소니,고양이 등등 고양이과 동물들은 어찌되었든 '동물'이니까요. 이렇게 '고양이과'라는 집합의 모든 원소들이 'Animal'이라는 집합의 원소인 경우를 '부분집합(subset)'이라고 하고, 또 이 경우에는 'Animal'이라는 집합에 '고양이과'를 제외한 다른 원소들이 있으므로 'Animal'과 '고양이과'는 같지않고 따라서 이를 '진부분집합(proper subset)'이라고 합니다.(집합 사이의 포함관계를 표현하는 기호는 '⊂'입니다.) 

 이쯤되면 정말 헷갈립니다. '부분집합'과 '진부분집합'의 차이는 무엇인가? 바로 '진'의 차이입니다. 여기서 '진'은 '진짜'라는 의미라고 보시면 됩니다. '부분집합'은 두 집합 중 하나가 하나에 완전히 포함되는 것으로 이 두 집합이 완전히 같을 수도 있고, 위에 있는 예시처럼 포함되는 집합에 있는 원소를 제외한 또다른 원소들이 존재할 수 있습니다. 전자의 경우에는 의미상 완전한 부분집합이라고 할 수 없습니다. 왜냐하면 두 집합이 각각 가진 원소가 전부 같다면, 이것은 '부분'이 아니라 '전체'가 되는 것이니까요. 그렇기에 이러한 상황이 배제된 후자와 같은 의미상 완전한 부분집합을 이루는 것을 '진부분집합'이라고 하는 것입니다. 그림으로 표현하자면 부분집합에 진부분집합이 포함되어 있는 것으로 나타낼 수 있겠네요.

 드디어 마지막으로 집합의 연산에 다루어 보겠습니다. 집합 연산에는 크게 '합집합(union),곱집합(intersection),차집합(difference),여집합(complementation)'이 4개가 존재합니다. 

 '합집합'은 둘 이상의 집합들의 모든 원소를 한 곳에 합쳐 놓은 집합입니다. 기호는 '∪'를 사용합니다. 예를 들어 'animal' 집합과 'plant' 집합의 합집합은 'animal ∪ plant'라고 표현하고, 그 결과는 '{고양이, 개, 꽃, 풀, 호랑이, 나무....}' 입니다. 

 '곱집합'은 둘 이상의 집합들이 똑같이 갖고 있는 원소들만 한 곳에 모아 놓은 집합입니다. 기호는 ' ∩'를 사용합니다. 예를 들어 서로 다른 개성을 가진 3명의 학생들이 있고, 이들의 유일한 공통점이 '스마트폰'을 가지고 있다는 것이라고 할 때 이들의 곱집합은 ''학생1 ∩학생2 ∩학생3'이라고 표현하고, 결과는  '{스마트폰}'입니다.

 '차집합'은 둘 이상의 집합들 상에서 빼지는 집합이 가지고 있는 원소를 제외한 모든 원소들을 모아놓은 집합입니다. 기호는 '-'를 사용합니다. 예를 들면 A 집합에는 20대에서 30대 사람들이 있고 B집합에는 10대에서 20대가 있다고 가정할 때, A집합에서 B집합을 뺀다고 합시다. 실제 표현은 'A-B'라고 쓰고 결과는 30대 사람들만 남아있겠죠. 그 이유는 우선 B집합과 A 집합은 20대라는 공통된 원소를 가지고 있습니다. 이 상황에서 B집합을 뺀다고 할 때 B에 속해 있던 10대는 당연히 사라지고 20대 또한 함께 사라져 30대만 남은 것입니다. 

 '여집합'은 전체 집합에서 어떠한 집합의 원소를 제외한 모든 원소들의 집합입니다. 기호는 '-'를 집합 위쪽에 써서 사용하거나 작은 따옴표를 사용하거나 c를 지수 위치에 놓습니다. 예를 들어 0세에서 100세까지 전연령을 모아, 10대를 제외한 모든 연령대에게 밥을 제공하는 상황이 있다고 가정합시다. 이 것을 집합으로 표현하면 '10대'를 집합 A라고 할 때 라고 표현하고 결과는 '{x|0<x<101, x∉A}'입니다. 

 오늘은 집합의 정의, 집합의 표현 방법, 원소와 집합 사이의 관계, 집합과 집합 사이의 관계(부분집합, 진부분집합), 집합 연산에 대해 쓰고 포스팅을 마치겠습니다. 혹시 틀린 부분이 있으면 comment 남겨주세요.

(양이 너무 많아서 힘들었습니다. ㅠㅠ)